直角三角形を作ろう
直角三角形は、図形の問題を解く鍵🔑になるよ！
正方形から二等辺三角形をつくるよ
- 方眼紙を用意します。
- 一辺が5cmの正方形を描きます
- 正方形なので、全ての内角が90度.全ての辺が5cmになるね。
- 対角線を一本引こう。
- すると、頂角が90度で、底角が45度の二等辺三角形が2つできるね。
- これは内角の一つが90度なので、直角二等辺三角形といいます。
三角形の面積は、なぜ底辺✖️高さ割る2なの？
- 正方形の面積は、縦✖️横だったね。
- 正方形に対角線を一本引くと、直角二等辺三角形が2つ出来ました。
- 正方形の一辺の長さは、直角二等辺三角形の一辺の長さと同じだね。
- 正方形の対角線の長さは、直角三角形の斜辺にあたるね。
- つまり正方形の半分が、直角二等辺三角形になるってことだね。
直角三角形とピタゴラスの定理について
- 正方形のなかに、少し斜めに傾けた正方形を書きましょう。中の正方形の角が、外の正方形の各辺に接するように書いてね。
- 外の正方形の一辺の長さを、中の正方形の角が接するところを境に、長い方を a 短い方を b とします。
- そして、中の正方形の一辺の長さを c とします。
- すると、外の正方形の中の正方形の隙間に、4つの直角三角形が出来ましたね。
- 外側の大きな四角の面積から、四つの直角三角形の面積を引くと、内側の小さな四角の面積になりますね。
- まず、外側の四角の面積を求めましょう。
- (a+b)×(a+b)=
- a²+ab+ab+b²=
- a²+2ab+b²
になるね。
- 次に中の四角の面積を求めましょう。
- c x c = c²
- だね。
- 次に、中の四角の周りある４つの直角三角形の面積を求めましょう。
- 直角三角形の面積は
- 底辺×高さ÷2だから
- （axｂ÷2）
- これが４個あるからaxbの四角形が２つあるのと一緒だね
- (axb)x2=2ab
- だね。
- 最後に外の四角＝中の四角+三角４個の式を作ろう
- a²+2ab+b² ＝ c²+2ab
- 両辺に共通する項 2ab を両辺から引きますよ
- a² + 2ab + b² – 2ab = c² + 2ab – 2ab
- a² + b² = c²
- になったよ。
- a² + b² = c²は
- 直角三角形の底辺と高さをそれぞれ２乗して足したものと、直角三角形の斜辺を２乗したものが等しくなることを表しています。
- この法則はピタゴラスの定理と言って、うまく利用すれば難しい問題も解けるようになるよ。
aとbに数字を入れてｃを計算してみよう
- aに4cm、bに3cmを入れて、cの長さを計算しよう
- a²=16
- b²=9
- a²+b²=25
- c²=25
- これをcxcに直すと = 5ｘ5
- c = 5cmになったよ。
まとめ
- 中学受験では、直角三角形が鍵になります。
- 多角形の面積を求めるときに、図形を直角三角形に分割する手法が頻出します
- 複雑な図形も直角三角形に分解することで解きやすくなるから、基本をしっかりおさえましょう。
- 直角三角形のピタゴラスの定理も、特に3：4：5が問題の中に隠れている時があるので、出てきたらラッキーと思ってさっさと解いてしまいましょう。
次回は
次回は相似と比をやりましょう。
またね。
